高等数学 阶段测试（共 100 分）

难度：容易 | 可作为大一下学期毕业期末试卷

一、单选题（24 分，12*2）

1. 已知函数 $f(x-1)$ 的定义域为 $[0, 2]$，则函数 $y = f(\sin x) + f(2x+1)$ 的定义域为（ ）
   A. $[-1, 1]$ B. $(-1, 0)$ C. $[-1, 2]$ D. $[-1, 0]$
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   答案：D

   解析：由 $f(x-1)$ 定义域为 $[0, 2]$ 知，$0 \le x-1 \le 2 \Rightarrow -1 \le x-2 \le 1$？不对，应为：令 $u=x-1$，则 $u \in [-1, 1]$，即 $f$ 的作用范围是 $[-1, 1]$。

   对于 $f(\sin x)$，需 $-1 \le \sin x \le 1$（恒成立）；

   对于 $f(2x+1)$，需 $-1 \le 2x+1 \le 1 \Rightarrow -2 \le 2x \le 0 \Rightarrow -1 \le x \le 0$。

   取交集得定义域为 $[-1, 0]$。
2. 函数 $f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos x}{x^2}, & x < 0 \\ 2, & x = 0 \\ (1+2x)^{\frac{1}{x}}, & x > 0 \end{cases}$，则 $\lim_{x \to 0} f(x)$ 为（ ）
   A. $\pi$ B. 0 C. $\infty$ D. 不存在
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   答案：D

   解析：计算左右极限：

   左极限：$\lim_{x \to 0^-} \frac{1-\cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} \frac{\frac{1}{2}x^2}{x^2} = \frac{1}{2}$。

   右极限：$\lim_{x \to 0^+} (1+2x)^{\frac{1}{x}} = e^{\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} \cdot 2x} = e^2$。

   左极限 $\neq$ 右极限，故极限不存在。
3. 下列极限存在的是（ ）
   A. $\lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}} - 1$ B. $\lim_{x \to 0} \sin \frac{1}{x}$ C. $\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x^2}$ D. $\lim_{x \to 0} 2^{\frac{1}{x}}$
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   答案：C

   解析：C项中 $x$ 是趋于0的无穷小量，$\sin(1/x^2)$ 是有界量，无穷小乘以有界量仍为无穷小，故极限为0，存在。其他选项左右极限不相等或不存在。
4. 设 $f(x) = x^2$，则 $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a) - f(a-\Delta x)}{\Delta x} = $（ ）
   A. $2a$ B. $-2a$ C. $a$ D. $a^2$
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   答案：A

   解析：根据导数定义，原式 $= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a) - f(a-\Delta x)}{\Delta x} = f'(a) = 2a$。
5. 下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的有（ ）
   A. $y = \frac{1}{1+x^2}, [-1, 1]$ B. $y = e^{-x}, [-1, 1]$ C. $y = \frac{1}{1+x}, [-1, 1]$ D. $y = \sqrt{x^2-1}, [-2, 2]$
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   答案：A

   解析：罗尔定理需满足：区间内连续、可导且两端点值相等。

   A项：在 $[-1, 1]$ 连续可导，且 $f(1)=f(-1)=1/2$，满足。

   B项：端点值不等；C项：在 $x=-1$ 无意义；D项：在 $(-1, 1)$ 间无定义。
6. 当 $x \to 0$ 时，函数 $e^{x^2} - x - 1$ 是函数 $x^2$ 的（ ）
   A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 同阶但非等价无穷小 D. 等价无穷小
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   答案：B

   解析：考虑比值：$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - x - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(1+x^2+o(x^2)) - x - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-x+x^2}{x^2} = \infty$。

   由于极限为无穷大，故分子是分母的低阶无穷小。

二、填空题（20 分，10*2）

13. 函数 $f(x) = \frac{x-1}{1+x} + \ln|x|$ 的定义域为 $\underline{\hspace{8em}}$。
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    答案：$\{x | x \neq -1 \text{ 且 } x \neq 0\}$

    解析：分母不为0得 $x \neq -1$，对数真数大于0得 $|x| > 0 \Rightarrow x \neq 0$。
14. $\lim_{x \to \infty} (\frac{x-1}{x+3})^x = \underline{\hspace{8em}}$。
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    答案：$e^{-4}$

    解析：原式 $= \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{-4}{x+3})^x = e^{\lim_{x \to \infty} x \cdot \frac{-4}{x+3}} = e^{-4}$。
15. 曲线 $y = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 6x + 1$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线与 $x$ 轴的交点坐标为 $\underline{\hspace{8em}}$。
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    答案：$(-1/6, 0)$

    解析：$y' = x^2 + x + 6$，在 $x=0$ 处斜率 $k = 6$。

    切线方程：$y - 1 = 6(x - 0) \Rightarrow y = 6x + 1$。

    令 $y = 0$，得 $x = -1/6$。

三、综合题（48 分，8*6）

23. 计算极限 $\lim_{x \to \infty} \sqrt{x}(\sqrt{x+2} - \sqrt{x-3})$。
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    答案：$5/2$

    解析：分子有理化：$\sqrt{x} \cdot \frac{(x+2) - (x-3)}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x-3}} = \frac{5\sqrt{x}}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x-3}}$。

    分子分母同时除以 $\sqrt{x}$，得 $\frac{5}{\sqrt{1 + 2/x} + \sqrt{1 - 3/x}}$。

    当 $x \to \infty$ 时，极限为 $5/(1+1) = 5/2$。
24. 求微分方程 $y' - xy = x$ 的通解。
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    答案：$y = Ce^{\frac{1}{2}x^2} - 1$

    解析：这是一阶线性微分方程，公式法：$P(x) = -x, Q(x) = x$。

    $y = e^{-\int -x dx} [ \int x e^{\int -x dx} dx + C ] = e^{\frac{1}{2}x^2} [ \int x e^{-\frac{1}{2}x^2} dx + C ]$。

    由于 $\int x e^{-\frac{1}{2}x^2} dx = -e^{-\frac{1}{2}x^2}$。

    故 $y = e^{\frac{1}{2}x^2} [ -e^{-\frac{1}{2}x^2} + C ] = Ce^{\frac{1}{2}x^2} - 1$。
25. 计算由抛物线 $y = x^2 - 1$ 与 $y = 7 - x^2$ 所围成的平面图形的面积。
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    答案：$64/3$

    解析：联立方程 $x^2 - 1 = 7 - x^2 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x = \pm 2$。

    面积 $A = \int_{-2}^2 [(7-x^2) - (x^2-1)] dx = \int_{-2}^2 (8 - 2x^2) dx$。

    $A = [8x - \frac{2}{3}x^3]_{-2}^2 = (16 - 16/3) - (-16 + 16/3) = 32 - 32/3 = 64/3$。